Филимоненков Виктор (fiviol) wrote,
Филимоненков Виктор
fiviol

Categories:

Математический марафон - 10.

По адресу http://www.fizmat.vspu.ru:8000/doku.php?id=marathon:about стартовал десятый тур "Математического марафона", проводимого Владимиром Лецко.
По традиции, создаю у себя пост, в котором буду выкладывать свои решения задач по мере открытия ответов на них.

В рамках 10-го тура Математического марафона проводится очередной тематический конкурс.

На это раз тематика конкурса - поиск закомонерности. В каждой задаче тематического конкурса требуется продолжить указанную последовательность натуральных (или целых неотрицательных) чисел и указать правило, по которому она строится.

Помимо прочего, этот пост служит рекламой марафона. Присоединяйтесь! Решения можно посылать по адресу, указанному по приведенной выше ссылке.

ММ-9. Прошлый тур я практически весь пропустил, но в новом вновь намерен участвовать.
ММ-8, задачи, не входящие в тематический конкурс,
ММ-8, задачи тематического конкурса "Арифметика",
ММ-7. Задачи, не входящие в тематический конкурс,
ММ-7. Задачи тематического конкурса "Логика",
ММ-6. Задачи 56-60,
ММ-6. Задачи 51-55.


Конкурсная задача №91 (З-1) (3 балла)

Продолжить последовательность 2017, 16073, 20089, 26113.

Ответ: 40169
Решение: последовательность состоит из простых чисел, являющихся членами геометрической прогрессии с шагом 2008, идущих в порядке возрастания. Непосредственный расчет (выполненный мною вручную, но, надеюсь, без ошибок) показывает, что 40169 - следующее простое число в этой прогрессии.

Эстетическая оценка задачи: 3 балла.
Андрей Халявин и Виктор Филимоненков получают по 3 призовых балла. Евгений Машеров получает 2 призовых балла, а Владимир Боровских - 1 призовой балл.

Конкурсная задача №92 (6 баллов)

Доказать, что натуральное число n является ненулевой степенью простого числа тогда и только тогда, когда n кратно n-ф(n), где ф(n) - функция Эйлера.

Решение. Пусть n = p1^k1*...*ps^ks - разложение на простые множители. Тогда
ф(n) = p1^(k1-1)*...*ps^(ks-1)*(p1-1)*...*(ps-1).
Делимость n на n-ф(n) равносильна делимости p1*...*ps на p1*...*ps - (p1-1)*...*(ps-1).

Если s=1 (то есть n - степень простого), то p1-(p1-1) = 1 на что делится все что угодно.

Пусть s > 1. Предположим, что p1*...*ps делится на p1*...*ps - (p1-1)*...*(ps-1), то есть
p1*...*ps - (p1-1)*...*(ps-1) = p1*...*pm (то есть является произведением каких-то простых из разложения n, будем считать, что первых по нумерации).
Ясно, что 0 < m < s.
Пусть ps - наибольшее из простых в разложении n. Это наибольшее простое не может входить в числа p1,..., pm из-за того, что в числе p1*...*ps - (p1-1)*...*(ps-1) уменьшаемое делится на ps, а вычитаемое не делится. Получим цепочку равенств и неравенств:
p1*...*pm = p1*...*ps - (p1-1)*...*(ps-1) > p1*...*ps - (p1-1)*p2*...*ps = p2*...*ps > p1*...*pm (так как уже ps > p1).

Противоречие. Значит предположение неверно, и n не делится на n-ф(n), если в разложении n более одного простого множителя.

Эстетическая оценка задачи: 3 балла.
За правильное решение задачи 92 Андрей Халявин, Влад Франк, Виктор Филимоненков, Алексей Извалов и Алексей Волошин получают по 6 призовых баллов. Евгений Машеров получает 3 призовых балла, Виктор Михайлов - 1 призовой балл.

Конкурсная задача №93 (З-2) (4 балла)

Продолжить последовательность 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 184, 196, 225, 256, 280, 289, 316, 324, 340, 361, 364...

Конкурсная задача №94 (4 балла)

Чем замечательна пара чисел 568 и 638? Докажите, что аналогичных пар бесконечно много (т.е. указаннная пара, вовсе и не замечательна).

Ответ. Эти числа имеют одинаковые суммы всех своих делителей (включая само число). Для обоих чисел эта сумма равна 1080.
Доказательство бесконечности пар чисел с одинаковой суммой делителей. (Но чисел с суммой делителей 1080 - конечное количество :)).
Числа 6*p и 11*p, где p - произвольное простое число, отличное от 2, 3 и 11, имеют одинаковую суммой делителей 12*(p+1).

Эстетическая оценка задачи - 4 балла.
За решение задачи 94 Андрей Халявин, Виктор Филимоненков и Алексей Извалов получают по 2 призовых балла, а Александр Расстригин - 1 призовой балл.

Конкурсная задача №95 (З-3) (5 баллов)

Продолжить последовательность 1, 4, 11, 20, 31, 44, 61, 100...

Члены последовательности обладают следующими свойствами:
1. Последовательность возрастающая
2. Члены последовательности не делятся на 3
3. Остаток от деления на 10 у каждого члена последовательности равен квадрату разности между номером члена последовательности и ближайшего числа, делящегося на 4.
4. Остаток от деления на 8 у четных членов последовательности равен 4
5. Каждый член последовательности - минимальное натуральное число, удовлетворяющее свойствам 1-4.

Следующее число 101 :)

Эстетическая оценка - 3 балла.

Авторское решение: Это квадраты последовательных натуральных чисел, записанные в восьмиричной системе. Следующий член последовательности 121.
Вздымщик Цыпа получает 6 призовых баллов. Андрей Халявин, Алексей Извалов и Алексей Волошин получают по 5 баллов, а Виктор Филимоненков - 3 призовых балла.
Tags: Задачи, Математика
Subscribe

  • Ямбики 2

    Выкладываю последнюю порцию центонов-негативов. Прием ответов на предыдущие этапы конкурса продолжается, окончание игры пока где-то в тумане,…

  • Ямбики 1

    В игре: Словесные игры - 40, Хорейчики 1, там же смотрите правила, Хорейчики 2. Продолжаем разговор! Внимание! В последних двух турах конкурса…

  • Хорейчики 2

    В игре: Словесные игры - 40, Хорейчики 1, там же смотрите правила. Продолжаем разговор! 9.1. Танцевал ты как придётся, 9.2. Но про соки лишь…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments