Филимоненков Виктор (fiviol) wrote,
Филимоненков Виктор
fiviol

Categories:

О термине "похожие формы фигур"

Афиша. Провожу Словесные игры - 11, присоединяйтесь, кто еще не начал играть.

Далее - популярный текст по математике. Его не обязательно читать, чтобы сыграть в "Словесные игры"!

Предисловие. В задании 52 я употребил выражение "похожи формы архипелагов". Понятно, что это означает близость форм главных островов архипелагов и похожесть их взаимного расположения. Уточнять, что значат все эти "похожести" практически невозможно, но так условие звучит не очень корректно - может, мне они кажутся похожими, а кому-то нет.

Вот я и задумался над вопросом, можно ли как-то количественно оценить "похожесть" геометрических фигур? У меня в итоге получился интересный сюжет, который я здесь сейчас собираюсь расписать. При этом исходный вопрос про архипелаги, как это обычно бывает, останется нерешенным - понятие "похожести" в номере 52 остается интуитивным и на совести автора задания.

Как всегда, хочется быть понятным и желающим понять нематематикам. Ну, или хотя бы желающим понять математикам. Буду стараться. Текст, который содержит математические термины, пишу маленьким шрифтом, его можно и пропустить, если страшно. На мой взгляд, сюжет можно рассказывать и старшекласснику, а для младшекурсника здесь есть о чем написать, скажем, курсовую работу.

Результат. Оказывается, вполне естественно можно ввести меру похожести форм геометрических фигур. То есть для каждой пары фигур F и G можно определить неотрицательное число p(F,G), про которое разумно говорить, что оно тем больше, чем менее похожи формы этих фигур.

Уточню, что речь идет только о топологически одинаковых фигурах, то есть таких, что одну из другой можно получить сжатиями, растяжениями, изгибами, но не склеивая и не разрывая их. Например, отрезок и окружность имеют принципиальное различие, так что формы этих фигур мы будем считать несравнимо разными: у окружности есть дырка, а у отрезка нет, и чтобы получить отрезок, надо разорвать окружность.
Другие ограничения (ограниченность, компактность фигур, гладкая граница и т.п.) - все принимаются, если они полезны, у меня нет охоты здесь возиться со сложными деталями.


Величина p(F,G) обладает всеми основными свойствами расстояния (то есть является метрикой на множестве форм фигур - то есть множестве топологически одинаковых фигур, факторизованном по отношению подобия), а именно:
1) p(F,G) >= 0 для любых фигур F и G. Для фигур одинаковой формы, то есть подобных фигур, p(F,G) = 0 (различия форм нет).
2) p(F,G) = p(G,F) (расстояние от Москвы до Трехгорного ведь равно расстоянию от Трехгорного до Москвы)
3) неравенство треугольника: p(F,G)+p(G,H) >= p(F,H) (расстояние между двумя точками всегда короче длины любой ломаной, соединяющей эти точки)
4) если G и H - подобные фигуры, то p(F,G) = p(F,H) для любой фигуры F.

Определение меры похожести форм фигур. Приступим к определениям и введению обозначений. Для начала вспомним, что значит что фигуры F и G подобны, то есть имеют одинаковую форму. Означает это то, что найдется такое взаимно однозначное отображение f между точками этих фигур, которое сохраняет отношение расстояний между соответствующими точками. По другому это же можно сказать так: отношение расстояний (самых обычных) между образами точек и между самими точками одинаково для всех точек:
f(A)f(B)/AB = k(AB) = const (это число называется коэффициентом подобия)

Это можно трактовать еще и так: для любых четырех точек A, B, C, D величина k(AB)/k(CD) равна 1.

Пусть теперь F и G - произвольные фигуры, между которыми есть взаимно однозначное отображение f. Тогда величина
f(A)f(B)/AB = k(AB)
зависит, вообще говоря, от точек A и B. Обозначим через m(f) и M(f) соответственно наименьшее и наибольшее значения величины k(AB) (точнее, разумеется, нижнюю и верхнюю грани множества значений этой величины). Отношение этих чисел
r(f) = M(f)/m(f)
будет мерой отличия отображения f от отображения подобия (для отображения подобия f величина r(f), очевидно, принимает минимальное возможное значение 1).

А теперь на множестве всех достаточно "хороших" взаимно однозначных отображений фигур F и G найдем минимум (нижнюю грань) величины r(f):
s(F, G) = inf(r(f))
Эту величину и разумно считать мерой близости форм фигур F и G. Для того, чтобы иметь дело с метрикой, возьмем логарифм (по любому основанию > 1) от этой величины:
p(F,G) = log(s(F,G))

Упражнение. Докажите (это несложно) соответствующие свойства величины s(F,G), из которых следует свойства 1)-4) для величины p(F,G), указанные выше.

Задачи. Разумеется, есть куча вопросов теоретических, но я их здесь рассматривать не хочу. Понятие введено на пальцах, и мне этого вполне достаточно. А вот процедура вычислений величины s(F,G) мне кажется гораздо интересней, и даже для самых простых случаев - совсем нетривиальной. Итак:
Найти величину s(F,G), если F и G это:
а) отрезок и полуокружность,
б) отрезок и дуга в alfa радиан,
в) отрезок и ломаная, состоящая из двух перпендикулярных звеньев одинаковой длины,
г) квадрат и прямоугольник с соотношением сторон a > 1,
д) квадрат и круг,
е) круг и эллипс с соотношением осей b > 1.

Ни в одном случае ответа я не знаю, поэтому интересны не только сами ответы, но и процесс вычислений.

Спасибо за терпение! :)
Tags: Математика, НиЖ
Subscribe

  • Симфония

    Я ВАМ НЕ СКАЖУ БАНДЬЕРА РОССА Ш аванти пополо кефали В ала рикосса приводил, И все бандьера россавали, Бандьера росса он входил.

  • Мойдядо половины

    Назовем стрелкой последовательность букв, пройдя через которую стихотворение сходит со своей строки и оказывается на строке уже другого…

  • - А бв где, Ёжзийк?! - кричал Медвежонок в туман.

    Если кто-то меня потерял, то я вот он! А в названии сети екатеринбургерных на месте "б" и "в" неправильно стоят "т" и "ы". У кого, как и у нас,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 9 comments