Филимоненков Виктор (fiviol) wrote,
Филимоненков Виктор
fiviol

Categories:

Все изучения достойно

Я получаю большое удовольствие, ставя перед собой и решая задачи, подобные этой.
Дополнительное удовольствие я получаю, когда убеждаюсь, что могу это решить.
Меня нисколько не смущает, что я, наверное, не первый поставил и решил такую задачу: другие тоже имеют право на удовольствие.
Я думаю, что это может быть интересно и не математикам.

Целочисленные решения уравнения x3 + y3 + z3 + w3 = 0.
В отличие от проективной кривой Ферма третьего порядка
x3 + y3 + z3 = 0,
не имеющей целочисленных точек, кроме (1:-1:0), (0:1:-1) и (1:0:-1), аналогичная поверхность
S: x3 + y3 + z3 + w3 = 0
имеет бесконечно много таких точек. Кроме трех «очевидных» прямых:
lx: y = -z, x = -w; ly: x = -z, y = -w; lz: x = -y, z = -w
поверхность S содержит и другие целочисленные точки. Некоторые из них, по-моему, вполне достойны того, чтобы любой математик (да и не математик тоже), держал их в своем культурном багаже, например, где-то рядом со знаменитыми пифагоровыми тройками. Например, равенство
33 + 43 + 53 = 63
кажется родным (причем старшим) братом знаменитого равенства
32 + 42 = 52.
Как здесь не вспомнить и знаменитый анекдот об индийском математике Рамануджане, которого некая дама попросила записать номер своего телефона, потому что его очень трудно запомнить: 17-29. На что Рамануджан ответил, что нет ничего проще, чем запомнить этот номер, так как 1729 – первое натуральное число, которое двумя разными способами представляется в виде суммы двух кубов:
1729 = 103 + 93 = 123 + 13.
В качестве третьего примера, наверное, нужно упомянуть, что:
13 + 63 + 83 = 93.
Каждое из этих равенств выглядит бриллиантом, и их красоте ничуть не мешает, что нетривиальные целые решения уравнения x3 + y3 + z3 + w3 = 0 можно добывать тоннами.

Подобно тому, как проективную окружность x2 + y2 = z2 можно параметризовать многочленами с целыми коэффициентами:
x = t2 -1; y = 2t; z = t2 + 1,
что при каждом целом t дает целочисленную пифагорову тройку, так и поверхность S может быть параметризована с помощью непостоянных многочленов с целыми коэффициентами от двух переменных:
x = x(t;k), y = y(t;k), z = z(t;k), w = w(t;k),
что при любых целых t и k даст целочисленную точку на поверхности S.
Одну из таких параметризаций я и нашел.

x = t(t6(k-1)2 + 3kt3(t-1) +2k2 + 2k -1)
y = -t(t6(k-1)2 + 3t3(k-1) - k2 + 2k +2)
z = -2t6(k-1)2 - 3t3(k2 -1) - k2 - k - 1
w = - t6(k2 -1) + k2 + k + 1

Параметры t и k имеют прозрачный геометрический смысл. t параметризует точки на прямой lz. В каждой такой точке проведем касательные прямые. Такие касательные образуют однопараметрическое семейство, k - параметр. Каждая такая касательная имеет с кубической поверхностью еще одну точку пересечения, координаты которой и вычисляются по приведенным выше формулам.

Не знаю.
1. Все ли целочисленные точки поверхности S могут быть получены таким образом.
2. Введем на точках поверхности S операцию*: M*N = третья точка пересечения прямой MN с поверхностью S (на случаи касательных определение переносится соответствующим образом). Какими свойствами обладает операция *?
Заметим, что если M, N целочисленные точки, то и M*N целочисленная, что дает другой способ получения бесконечного числа целочисленных точек на S.
3. Нельзя ли ввести на S групповую операцию, подобно групповой операции на эллиптических кривых?
Tags: Задачи, Математика
Subscribe

  • И лучше выдумать не мог

    В литературной игре "Пишу Онегина размером" добавлено некоторое количество подсказок и объяснений. Теперь-то правильные ответы хлынут рекой. :)…

  • Кое-что про число 13

    Сегодня 13 лет, как я веду свои "Цветные пустяки". Больше четверти жизни, между прочим. За это время написано 1308 постов, то есть в среднем больше…

  • Ну, за славянскую письменность!

    А моему Журналу 11 лет. Спасибо всем, благодаря кому он по-прежнему Живой! Тут был стандартный баннер от ЖЖ с козлом, мне надоело его видеть в моем…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments