Филимоненков Виктор (fiviol) wrote,
Филимоненков Виктор
fiviol

Categories:

Математический марафон. 7 тур. Тематический конкурс.

На http://www.fizmat.vspu.ru:8000/doku.php?id=marafon:about стартовал 7 тур математического марафона, проводимого Владимиром Лецко.

Кроме собственного участия в марафоне, хочется внести свою малую толику в рекламу этого конкурса. Хотя мой журнал читает не так много людей, я надеюсь, что кому-то, и не только математикам, будет интересно поучаствовать. Например, задачу №61 я обязательно буду решать со своим сыном-шестиклассником, предложу ее и школьникам, с которыми занимаюсь факультативно.

В рамках 7 тура проводится тематический конкурс, состоящий из 5 задач по логике. Итоги тематического конкурса будут подведены отдельно, параллельно с итогами всего тура, содержащего 10 задач.

В этот пост я буду складывать условия задач тематического конкурса, а по мере открытия ответов на задачи, здесь же буду помещать собственные решения.
Задачи 7 тура, не входящие в тематический конкурс - здесь.

Задача № 61 (Л-1) (4 балла)
Футбольные команды Честерман, Елсич, Пулливер, Сеналар и Тонбол провели однокруговой турнир.
Ниже приведены его итоги:
Команды О РМ
1. Елсич 10 3-0
2. Честерман 6 9-6
3. Пулливер 6 2-7
4. Сеналар 5 3-1
5. Тонбол 1 2-5
В колонке “О” указано количество набранных очков. В колонке “РМ” через дефис казано суммарное количество забитых и пропущенных голов. За победу команде начисляется 3 очко, за ничью - 1 очко.
Требуется восстановить турнирную таблицу (указать счет каждого матча).

Ответ: Для краткости буду называть команды по первым буквам.
Е-Ч 1:0; Е-П 1:0; Е-С 0:0; Е-Т 1:0; Ч-П 6:0; Ч-С 0:3; Ч-Т 3:2; П-С 1:0; П-Т 1:0; С-Т 0:0
Решение. Сначала восстановим количество побед, ничьих и поражений. Для Е это может быть только 3-1-0, для Т только 0-1-3, для С 1-2-1. 6 очков за 4 игры можно набрать двумя способами: 1-3-0 и 2-0-2, но поскольку суммарное количество побед и поражений у команд должно быть равное, то для Ч и П количество побед, ничьих и поражений 2-0-2.
Далее, С сыграл вничью с Е и Т (больше не с кем). Поскольку С один раз проиграл, и при этом пропустил только 1 гол, то этот проигрыш 0:1, а, значит, ничьи 0:0, т. е. С-Е 0:0 и С-Т 0:0.
Е выиграл три матча, забив три мяча, то есть у всех остальных команд он выиграл 1:0 - Е-П 1:0, Е-Ч 1:0, Е-Т 1:0
П выиграл 2 матча, забив два мяча, то есть его выигрыши 1:0, а проигрыш 0:6. Этот проигрыш может быть только от Ч, так как все остальные забили меньше 6 мячей. Значит: П-Ч 0:6, П-С 1:0, П-Т 1:0.
Остались 2 матча, результаты которых легко останавливаются: Ч-С 0:3 и Ч-Т 3:2.

Моя эстетическая оценка задачи 2 балла (названия команд не очень :)) 17.02.07.
Эта задача собрала рекордное для Марафона количество отзывов - 18. Причем все 18 присланных решений верны. Поэтому Сергей Аракчеев, Андрей Богданов, Иван Держанский, Стас Грицюк, Дмитрий Гусев, Александр клешнин, Константин Кноп, Иван Козначеев, Алекс Кочарин, Алексей Кутузов, Дмитрий Милосердов, Ольга Павлова, Олег Полубасов, Владимир Романов, Виктор Филимоненков, Владислав Франк, Олег Чечулин и Татьяна Шемелова получают по 4 призовых балла. Эти баллы учитываются дважды: в Большом Маpафоне и в мини-конкуpсе логических задач.

Конкурсная задача №63 (Л-2) (4 балла)

В стране, каждый житель которой либо рыцарь, либо лжец, за круглым столом собралась компания из 19 аборигенов. Каждый из собравшихся заявил, что оба его соседа - лжецы.
Hа почве столь резких высказываний разразился небольшой скандал, в результате
которого часть компании покинула застолье. После этого каждый из оставшихся с удовлетворением объявил, что теперь оба его соседа - рыцари.
- И в самом деле, среди вас теперь ни одного лжеца - согласился с ними
последний из покинувших компанию.
Тем временем, "отщепенцы" организовали новое собрание, и вновь за круглым столом. Каждый из сидящих за этим столом произнес, что среди его соседей ровно один рыцарь.
Сколько человек осталось сидеть на своих местах после раскола компании?

Ответ: 7 человек лжецов осталось, 8 рыцарей и 4 лжеца ушли.
Решение. Поскольку каждый из 19 человек заявил, что оба его соседа лжецы, оба соседа каждого рыцаря действительно должны быть лжецами. Значит, рыцарей не больше половины, то есть максимум 9. С другой стороны, за столом не может сидеть 3 лжеца подряд, так как тогда средний из них сказал бы правду. Значит, рыцарей не меньше трети, то есть минимум 7.
Если среди оставшихся есть хотя бы 1 рыцарь, то и все оставшиеся рыцари. Значит, все оставшиеся – одинаковы. Таков же и последний, покинувший компанию – это следует из его заявления. Значит, среди ушедших наверняка есть рыцарь: либо сам этот последний ушедший, либо, если он лжец, то ушли все рыцари, так как все оставшиеся тоже лжецы.
Рядом с каждым ушедшим рыцарем в их компании отщепенцев сидит рыцарь и лжец. Тогда у этого лжеца оба соседа рыцари и т.д. Таким образом, отщепенцы сели в порядке: два рыцаря – лжец – два рыцаря – лжец и т.д. Поскольку среди отщепенцев больше рыцарей, то среди оставшихся рыцарей нет (иначе всего рыцарей было бы больше половины, а их не больше 9). Значит, ушли все рыцари, и их четное число. Но единственное четное от 7 до 9 число – 8. Значит, ушло 8 рыцарей и 4 лжеца, а остались 7 лжецов.
Эстетическая оценка задачи: 4 балла. 17.02.07.
Эта задача не вызвала затруднений у марафонцев. Все присланные решения верны (хотя некоторые из них, на мой взгляд, излишне громоздки). Сергей Аракчеев, Андрей Богданов, Стас Грицюк, Иван Держанский, Иван Козначеев, Алексей Кутузов, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов, Виктор Филимоненков, Владислав Франк, Олег Чечулин и Татьяна Шемелова получают по 4 призовых балла.

Конкурсная задача №65 (Л-3) (5 баллов)

Математик С предложил математикам А и В такую загадку:
- Я задумал три попарно различных натуральных числа, произведение которых не превосходит 50. Сейчас я конфиденциально сообщу А это произведение, а В - сумму задуманных чисел. Попробуйте отгадать эти числа.
Узвав произведение и сумму, соответственно, А и В вступили в диалог:
А: Я не знаю этих чисел.
В: Эх, если бы "мое" число было произведением, я бы уже знал загаданные числа!
А: Hо я, все равно, не знаю этих чисел.
В: Да и я не знаю.
А: А я уже знаю их.
В: Да и я знаю.
Что это за числа?

Ответ: 1, 6 и 8.
Решение: Первая реплика А означает, что сообщенное ему число несколькими разными способами раскладывается в произведение различных чисел. Среди первых 50 чисел такими являются (в скобках даны суммы множителей для каждого разложения):
12 = 1*2*6 (9) = 1*3*4 (8)
18 = 1*2*9 (12) = 1*3*6 (10)
20 = 1*2*10 (13) = 1*4*5 (10)
24 = 1*2*12 (15) = 1*3*8 (12) = 1*4*6 (11) = 2*3*4 (9)
28 = 1*2*14 (17) = 1*4*7 (12)
30 = 1*2*15 (18) = 1*3*10 (14) = 1*5*6 (12) = 2*3*5 (10)
32 = 1*2*16 (19) = 1*4*8 (13)
36 = 1*2*18 (21) = 1*3*12 (16) = 1*4*9 (14) = 2*3*6 (11)
40 = 1*2*20 (23) = 1*4*10 (15) = 1*5*8 (14) = 2*4*5 (11)
42 = 1*2*21 (24) = 1*3*14 (18) = 1*6*7 (14) = 2*3*7 (12)
44 = 1*2*22 (25) = 1*4*11 (16)
45 = 1*3*15 (19) = 1*5*9 (15)
48 = 1*2*24 (27) = 1*3*16 (20) = 1*4*12 (17) = 1*6*8 (15) = 2*3*8 (13) = 2*4*6 (12)
50 = 1*2*25 (28) = 1*5*10 (16)
Следующую реплику В я понял так: сообщенное ему число однозначно раскладывается в произведение трех разных множителей. Такими среди первых 50 чисел (на самом деле, сумма трех делителей наверняка меньше 50) являются:
6, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46.
Поскольку А этой информации не хватило, его число несколькими разными способами раскладывается в произведение трех разных чисел, сумма которых лежит в перечисленном выше наборе. Из перечисленных возможных вариантов числа А этим свойством обладают только:
30 = 1*3*10 (14) = 2*3*5 (10)
36 = 1*2*18 (21) = 1*3*12 (16) = 1*4*9 (14)
40 = 1*4*10 (15) = 1*5*8 (14)
48 = 1*2*24 (27) = 1*6*8 (15)
Поскольку В не может по этой информации восстановить числа, сообщенное ему число либо 14, либо 15 (встречающееся несколько раз как сумма различных сомножителей числа, сообщенного А).
А этой информации уже хватило, значит, сообщенное ему число не равно 40, а равно 30, 36 или 48. Но поскольку В этого хватило, его число 15, которое из этих трех чисел только у числа 48 появляется как сумма сомножителей. Значит, сомножители 1, 6, 8.

Эстетическая оценка задачи: 4 балла. 27.02.07.
За правильное решение задачи № 65 Сергей Аракчеев, Андрей Богданов, Константин Кноп, Евгений Машеров, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов, Мария Рыкалина, Влад Франк, Виктор Филимоненков, Олег Чечулин получают по 5 призовых баллов. За правильные решения с различными недочетами Стас Грицюк, Валентина Загороднюк и Алексей Кутузов получают по 4 балла, а Иван Держанский 3 балла. Владимир Романов получает 1 призовой балл.

Конкурсная задача №67 (Л-4) (7 баллов)
Четверо братьев (Джан, Джин, Джон и Джун ) поймали чужеземца, забредшего в их страну, где каждый обитатель был либо рыцарем, либо лжецом, и привели на суд к своему отцу.
Их отец произнес такую речь:
- В нашей стране мы терпимо относимся и к рыцарям, и к лжецам, но очень не любим дураков. Ты должен отгадать сколько мне лет, услышав по две подсказки от каждого из моих сыновей, тогда я отпущу тебя на все четыре стороны. Если же ты ошибешься, будешь рабом на моей плантации - глупцы не достойны лучшей участи. Hо учти, среди моих сыновей могут оказаться как рыцари, так и лжецы.
- А сам-то, кто будешь? - спросил путник - Можно ли тебе доверять?
- Если я рыцарь, то я рыцарь, а уж если лжец, то лжец - ответил глава семейства - Слушай подсказки.
Джан: n составное.
Джин: если n составное, то Джан - рыцарь.
Джон: если n > 92, то n < 67.
Джун: n > 93
Джан: n + 10 простое.
Джин: 2n + 1 составное.
Джон: если n + 10 простое, то и n + 20 простое.
Джун: n не больше суммы квадратов своих цифр.
Помогите путнику выбраться на свободу.
Пpимечания: Возраст отца - натуральное число, обозначенное для краткости через n.
Hапомню, что задачах такого типа лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду.

Ответ. n = 71.
Решение. Поскольку последняя фраза отца – тавтология, то он рыцарь.
Для краткости сыновей я буду обозначать гласными из их имен.
Из первой фразы И следует, что И рыцарь (ввиду первой фразы А). Значит, 2n+1 составное. Заметим, что тогда, в частности, n не равно 2 и 5.
Из фраз А в частности, следует, что из чисел n и n+10 ровно одно простое, а, значит, n взаимно просто с 10, то есть заканчивается на 1, 3, 7 или 9.
Предположим, что У – рыцарь. Тогда из последнего утверждения следует, что n – не больше, чем двузначное. Действительно, каждое трехзначное число abc = 100a+10b+c больше суммы своих квадратов a^2+b^2+c^2, так как 100a+10b+c-(a^2+b^2+c^2) = a(100-a)+b(10-b)+c-c^2 > 0 для любых цифр a, b, c (a >= 1), так как a(100-a) > 90, b(10-b)+c > 0, c^2 =< 81. Большего числа знаков n тем более не может иметь.
Тогда, в силу первого утверждения У, n = 97 или 99, но 97 просто, как и 97+10=107, а 2*99+1 = 199 не является составным. Таким образом, У не может быть рыцарем. Значит он лжец, а, стало быть, n =< 93, и n больше суммы квадратов своих цифр. Такими числами являются (из оканчивающихся на 1, 3, 7, 9) 11, 13, 21, 23, 31, 33, 41, 43, 51, 53, 61, 63, 71, 73, 81, 83, 91, 93.
Из этих чисел условиям: 2n+1 составное и из чисел n и n+10 ровно одно простое удовлетворяют только 71, 91 и 93. Число 93 не подходит, так как тогда из первого утверждения О следует, что он лжец, а из второго – что он рыцарь. Для числа 91, наоборот, из первого утверждения О следует, что он рыцарь, а из второго, что он лжец. Число 71 удовлетворяет всем подсказкам братьев (при рыцарях И и О и лжецах А и У).
Эстетическая оценка задачи: 4 балла. 28.03.07.
За правильное решение этой задачи Сергей Аракчеев, Андрей Богданов, Стас Грицюк, Константин Кноп, Евгений Машеров, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов, Татьяна Шемелова, Виктор Филимоненков и Владислав Франк получают по 7 призовых баллов. Алексей Кутузов получает 4, Алекс Кочарин - 3, а Олег Чечулин 2 призовых балла.

Конкурсная задача № 69 (Л-4) (8 баллов)
Мистер Жонсонд увидел в газете итоговую таблицу однокругового футбольного турнира:
№. Команда О РМ
1. Честерман 11 8-0
2. Елсич 11 7-2
3. Пулливер 9 4-0
4. Сеналар 6 2-10
5. Тонбол 3 8-9
6. Бернблэк 1 1-9
Мистер Жонсонд попытался восстановить по этим данным турнирную таблицу, но ему не удалось сделать это в полном объеме. И тут он обнаружил, что в заметке, сопровождавшей таблицу, приведен счет одного из матчей, сыгранных "Честерманом".
После этого мистер Жонсонд сумел восстановить таблицу полностью.
Попробуйте и Вы последовать его примеру.

Ответ дам в виде таблицы. В каждой строке: заглавная буква названия команды, очки, разница мячей, победы-ничьи-поражения, результаты с командами Ч, Е, П, С, Т, Б соответственно.
Ч: 11 = 8-0 = 3-2-0 == ХХ 0:0 0:0 4:0 3:0 1:0
Е: 11 = 7-2 = 3-2-0 == 0:0 ХХ 0:0 3:0 3:2 1:0
П: 9 = 4-0 = 2-3-0 == 0:0 0:0 ХХ 3:0 1:0 0:0
С: 6 = 2-10 = 2-0-3 == 0:4 0:3 0:3 ХХ 1:0 1:0
Т: 3 = 8-9 = 1-0-4 == 0:3 2:3 0:1 0:1 ХХ 6:1
Б: 1 = 1-9 = 0-1-4 == 0:1 0:1 0:0 0:1 1:6 ХХ
Решение.
1. Восстановим сначала количество выигрышей, ничьих и проигрышей (В-Н-П) каждой команды.
Ч: 3-2-0, Е: 3-2-0, Б: 0-1-4– других способов набрать за 5 игр 11 очков и 1 очко нет.
П не пропустил ни одного мяча, значит, он ни разу не проиграл. Значит, для П возможно только 2-3-0
Т набрал 3 очка, а значит, проиграл минимум дважды. Так как разница мячей у него -1, у Т должен быть и выигрыш (иначе разница мячей должна быть по крайней мере -2). Значит Т: 1-0-4
С мог сыграть либо 1-3-1, либо 2-0-3. Но так как мы уже знаем результаты остальных команд, результат С: 2-0-3 (так как общее количество ничьих должно быть четным).
2. Восстановим однозначно восстанавливаемые результаты матчей.
С выиграл свои матчи у Т и Б (так как остальные команды вообще не проигрывали). Поскольку С забил всего 2 мяча, то
С-Т 1:0, С-Б 1:0.
Все 3 ничьи П закончились со счетом 0:0 (так как П ничего не пропустил). Эти ничьи были со всеми теми командами, у которых есть ничьи:
Ч-П 0:0, Е-П 0:0, П-Б 0:0.
Ничью со счетом 0:0 (так как у Ч нет пропущенных мячей) сделали Ч и Е:
Ч-Е 0:0.
Поскольку Т забил 8 голов командам Е и Б (остальные команды от Т не пропускали), и в ворота Е не мог забить больше 2 мячей, то Б пропустил от Т не меньше 6 мячей. Тогда от Ч и Е команда Б пропустила не больше 2 мячей, оба раза проиграв. Значит, оставшиеся результаты Б таковы:
Ч-Б 1:0, Е-Б 1:0, Т-Б 6-1.
3. Не выясняются однозначно результаты команд С и Т с командами Ч, Е и П. Из найденных результатов следует, что С и Т все эти матчи проиграли. Теперь несложно перебрать все возможные результаты этих игр.
1 случай. П-С 1:0, П-Т 3:0, Ч-Т 1:0, Е-Т 3:2, Ч-С 6:0, Е-С 3:0.
2 случай. П-С 2:0, П-Т 2:0, Ч-Т 2:0, Е-Т 3:2, Ч-С 5:0, Е-С 3:0.
3 случай. П-С 2:0, П-Т 2:0, Ч-Т 1:0, Е-Т 4:2, Ч-С 6:0, Е-С 2:0.
4 случай. П-С 3:0, П-Т 1:0, Ч-Т 3:0, Е-Т 3:2, Ч-С 4:0, Е-С 3:0.
5 случай. П-С 3:0, П-Т 1:0, Ч-Т 2:0, Е-Т 4:2, Ч-С 5:0, Е-С 2:0.
6 случай. П-С 3:0, П-Т 1:0, Ч-Т 1:0, Е-Т 5:2, Ч-С 6:0, Е-С 1:0.
4. Поскольку Ж по одному из матчей команды Ч смог однозначно восстановить таблицу, это был матч либо Ч-Т, либо Ч-С (так как остальные матчи Ч сыграл одинаково во всех случаях). В трех из шести рассмотренных случаев результаты Ч-С 6:0, Ч-Т 1:0, еще в двух Ч-С 5:0, Ч-Т 2:0, и в одном (4 случай) Ч-С 4:0, Ч-Т 3:0. Значит, этот четвертый случай и был на самом деле (если Ж не угадал результат случайно).

Моя эстетическая оценка задачи: 3 балла. 6.05.07.
За правильное решение этой задачи Сергей Беляев, Андрей Богданов, Стас Грицюк, Евгений Машеров, Дмитрий Милосердов, Олег Полубасов, Виктор Филимоненков и Владислав Франк получают по 8 призовых балловю Виталий Мусихин получает 7 призовых баллов, а Ольга Павлова - 4 балла.


1. Андpей Богданов 28
1. Дмитpий Милосеpдов 28
1. Олег Полубасов 28
1. Виктоp Филимоненков 28
1. Владислав Фpанк 28
6. Стас Гpицюк 27
7. Сеpгей Аpакчеев 20
7. Евгений Машеpов 20
9. Алексей Кутузов 17
10. Константин Кноп 16
11. Олег Чечулин 15
11. Татьяна Шемелова 15
13. Иван Деpжанский 11
14. Сергей Беляев 8
14. Иван Козначеев 8
14. Ольга Павлова 8
17. Алекс Кочаpин 7
17. Виталий Мусихин 7
19. Владимиp Романов 5
19. Маpия Рыкалина 5
21. Дмитpий Гусев 4
21. Валентина Загоpоднюк 4
21. Александp Клешнин 4
Tags: Задачи, Математика
Subscribe

  • Ямбики 2

    Выкладываю последнюю порцию центонов-негативов. Прием ответов на предыдущие этапы конкурса продолжается, окончание игры пока где-то в тумане,…

  • Ямбики 1

    В игре: Словесные игры - 40, Хорейчики 1, там же смотрите правила, Хорейчики 2. Продолжаем разговор! Внимание! В последних двух турах конкурса…

  • Хорейчики 2

    В игре: Словесные игры - 40, Хорейчики 1, там же смотрите правила. Продолжаем разговор! 9.1. Танцевал ты как придётся, 9.2. Но про соки лишь…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 11 comments

  • Ямбики 2

    Выкладываю последнюю порцию центонов-негативов. Прием ответов на предыдущие этапы конкурса продолжается, окончание игры пока где-то в тумане,…

  • Ямбики 1

    В игре: Словесные игры - 40, Хорейчики 1, там же смотрите правила, Хорейчики 2. Продолжаем разговор! Внимание! В последних двух турах конкурса…

  • Хорейчики 2

    В игре: Словесные игры - 40, Хорейчики 1, там же смотрите правила. Продолжаем разговор! 9.1. Танцевал ты как придётся, 9.2. Но про соки лишь…