August 18th, 2006

Поезд

Все изучения достойно

Я получаю большое удовольствие, ставя перед собой и решая задачи, подобные этой.
Дополнительное удовольствие я получаю, когда убеждаюсь, что могу это решить.
Меня нисколько не смущает, что я, наверное, не первый поставил и решил такую задачу: другие тоже имеют право на удовольствие.
Я думаю, что это может быть интересно и не математикам.

Целочисленные решения уравнения x3 + y3 + z3 + w3 = 0.
В отличие от проективной кривой Ферма третьего порядка
x3 + y3 + z3 = 0,
не имеющей целочисленных точек, кроме (1:-1:0), (0:1:-1) и (1:0:-1), аналогичная поверхность
S: x3 + y3 + z3 + w3 = 0
имеет бесконечно много таких точек. Кроме трех «очевидных» прямых:
lx: y = -z, x = -w; ly: x = -z, y = -w; lz: x = -y, z = -w
поверхность S содержит и другие целочисленные точки. Некоторые из них, по-моему, вполне достойны того, чтобы любой математик (да и не математик тоже), держал их в своем культурном багаже, например, где-то рядом со знаменитыми пифагоровыми тройками. Например, равенство
33 + 43 + 53 = 63
кажется родным (причем старшим) братом знаменитого равенства
32 + 42 = 52.
Как здесь не вспомнить и знаменитый анекдот об индийском математике Рамануджане, которого некая дама попросила записать номер своего телефона, потому что его очень трудно запомнить: 17-29. На что Рамануджан ответил, что нет ничего проще, чем запомнить этот номер, так как 1729 – первое натуральное число, которое двумя разными способами представляется в виде суммы двух кубов:
1729 = 103 + 93 = 123 + 13.
В качестве третьего примера, наверное, нужно упомянуть, что:
13 + 63 + 83 = 93.
Каждое из этих равенств выглядит бриллиантом, и их красоте ничуть не мешает, что нетривиальные целые решения уравнения x3 + y3 + z3 + w3 = 0 можно добывать тоннами.

Подобно тому, как проективную окружность x2 + y2 = z2 можно параметризовать многочленами с целыми коэффициентами:
x = t2 -1; y = 2t; z = t2 + 1,
что при каждом целом t дает целочисленную пифагорову тройку, так и поверхность S может быть параметризована с помощью непостоянных многочленов с целыми коэффициентами от двух переменных:
x = x(t;k), y = y(t;k), z = z(t;k), w = w(t;k),
что при любых целых t и k даст целочисленную точку на поверхности S.
Одну из таких параметризаций я и нашел.
Collapse )