Филимоненков Виктор (fiviol) wrote,
Филимоненков Виктор
fiviol

Category:

Музыкальная грамота

Опрос у buchwurm в очередной раз напомнил мне о желании написать пост о том, почему у пианино по 7 белых клавиш и 5 черных на каждую октаву. Попробую на этот раз пересилить лень и хотя бы начать.

Все написанное пришлось мне понимать и выводить самому, поскольку по этому вопросу, интересовавшему меня давно, подходящей научно-популярной литературы у меня не было. Ссылки на такую литературу приветствуются, хотя не обязательны: все равно, лучше чем человек сам себе объяснит, ему никто объяснить не сможет. :)

А вот чтение литературы по теоретической музыке в этой части для меня оказалось совершенно бесполезно. Авторы таких книг, краем уха слышавших, что в основе музыки лежит какая-то математика, только мельком упоминают о каких-то дробях. И тут же, чтобы не дай бог не свести с ума будуших музыкантов еще и умножением дробей, переходят на милый их музыкальному слуху язык субдоминант и квинт в басу, не ставя перед собой и читателями цели понимать излагаемое.

Меж тем, математика, возникающая здесь, красива не меньше, чем собственно музыка. Само существование музыки возможно в большой степени благодаря некоторой счастливой близости наборов рациональных и иррациональных чисел. И при этом вся эта теория никак не сложнее уровня, на которым следует знать математику всякому культурному человеку.

Мой текст рассчитан на читателей, арифметики средних классов школы не боящихся. Само собой разумеется, я могу что-то не так понимать в физических и физиологических процессов, посему предлагаю меня, если есть где, поправлять.


Начнем не ленясь, с фиксирования очевидных и общеизвестных фактов, а также введения основных понятий. Определяемые слова даны курсивом. Необязательные предложения и прочие лирические отступления набраны мелким шрифтом.

Музыкальные звуки.

Аксиома 1. Звук возникает из-за колебания воздуха, приводящего к колебанию некоторых органов в нашем ухе - которое и воспринимается мозгом как звук.

Всякое колебание - это процесс,который может быть описан некоторой функций f(t) изменения некоторой величины с течением времени. Для звуковых колебаний это, может быть, например, угол наклона "стремечка" относительно некоторого исходного положения - если я ничего не путаю. Впрочем, конкретный смысл величины f(t) нас будет интересовать.

Аксиома 2 (приятности). Нам "приятно" слышать звуки, вызванные периодическими колебаниями, то есть такими колебаниями, которые повторяют свои фазы через одинаковый промежуток времени период T.

Это означает, что функция f(t) обладает свойством периодичности:
f(t+T) = f(t)
для всех t из достаточно длительного промежутка.

Определение. Звуки, вызванные периодическими колебаниями, мы назовем "музыкальными".

Период музыкального звука определяет его высоту - говорят, что звук тем выше, чем меньше его период. Другие подробности поведения функции f(t), то есть тембр на музыкальность звука влияет в меньшей степени и потому нас интересовать не будет.

Примером немузыкального звука является, например, звук сирены, плавно переходящий с высокого на низкий и наоборот. Это происходит как раз из-за того, что промежуток между фазами колебаний все время меняется. Насколько звук сирены неприятен, каждый может судить сам.

Величина 1/T, обратная периоду называется частотой. Мне будет удобнее все же говорить в терминах периодов.


Мы воспринимаем колебания (музыкальные или немузыкальные) проходящие свои фазы от 20 до 20000 раз в секунду. Лучше всего воспринимаются звуки с частотой от нескольких сотен до нескольких тысяч раз в секунду.

Консонансы и диссонансы

Определение. Будем называть звук, вызванный одновременным звучанием двух или нескольких звуков суммой этих звуков.

Определение. Сумма музыкальных звуков, сама являющаяся музыкальным звуком, называется консонансом. Сумма музыкальных звуков, сама не являющаяся музыкальным звуком, называется диссонансом.

Аксиома 3 (принцип суперпозиции). Функция, описывающая сумму двух звуков, равна сумме функций, описывающих звуки-слагаемые.

Теорема о консонансах. Для того, чтобы сумма двух музыкальных звуков была музыкальным звуком, их периоды должны относиться как небольшие целые числа.

Действительно, пусть f1 и f2 - две функции, описывающие звуки. Если отношение периодов двух звуков T1:T2 = m:n - несократимая дробь, то сумма этих двух звуков имеет период Т, равный T1*n = T2*m. Действительно:
(f1+f2)(t+T) = f1(t+T)+f2(t+T) = f1(t+T1*n) + f2(t+T2*m) = f1(t)+f2(t) = (f1+f2)(t)
Если m и n велики, то T1*n = T2*m окажется большим, выпадающим из диапазона слышимых звуков, так что суммарный звук перестает восприниматься как музыкальный. Если же периоды Т1 и Т2 вообще несоизмеримы, сумма двух функций не является периодической.


Примеры. Периоды звуков "до" в соседних октавах относятся как 2:1, и поэтому воспринимаются практически как единый звук. Периоды звуков "до" и "ля" в одной октаве относятся примерно как 3:2, и потому их одновременное звучание является хорошим консонансом. Периоды же звуков "до" и "ля-бемоль" не относятся как малые рациональные числа, поэтому их одновременное звучание является диссонансом.

Текст может быть отредактирован. Продолжение последует в течение ближайшей недели.
Tags: Математика, Музыка, НиЖ
Subscribe

  • Взыв

    Несколько лет назад добрые и терпеливые друзья научили меня постить картинки в ЖЖ с помощью приложения ljplus, которым я благополучно пользовался до…

  • Поделитесь делителями

    А дайте, пожалуйста, ссылку на какой-нибудь калькулятор, который бы умел раскладывать числа на простые множители по нажатию одной кнопочки.

  • Прошу помощи у зала

    Пытаюсь научиться пользоваться mIrc согласно инструкции здесь: http://community.livejournal.com/svoya_igra/83048.html. Дохожу до пункта: • Мы…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 43 comments

  • Взыв

    Несколько лет назад добрые и терпеливые друзья научили меня постить картинки в ЖЖ с помощью приложения ljplus, которым я благополучно пользовался до…

  • Поделитесь делителями

    А дайте, пожалуйста, ссылку на какой-нибудь калькулятор, который бы умел раскладывать числа на простые множители по нажатию одной кнопочки.

  • Прошу помощи у зала

    Пытаюсь научиться пользоваться mIrc согласно инструкции здесь: http://community.livejournal.com/svoya_igra/83048.html. Дохожу до пункта: • Мы…