Филимоненков Виктор (fiviol) wrote,
Филимоненков Виктор
fiviol

Categories:

Все изучения достойно - 2

А вот еще одна задачка, которую я в качестве культурной программы сам себе поставил и решил. Считаю, что это может быть интересно и не математикам, если только они не закомплексованы и любят красоту.

Общая формула для суммы одинаковых степеней первых чисел.
Очевидно:
10+20+...+n0 = P1(n) = n
В школе проходили:
11+21+...+n1 = P2(n) = n(n+1)/2 = n2/2+n/2
На олимпиадах доказывали, или просто встречали:
12+22+...+n2 = P3(n) = n(n+1)(2n+1)/6 = n3/3+n2/2+n
13+23+...+n3 = P4(n) = n2(n+1)2/4 = n4/4+n3/2+n2/4

Возникает гипотеза, что существует многочлен (k+1)-ой степени Pk+1(x), такой, что для всех натуральных чисел n верно:
1k+2k+...+nk = Pk+1(n)

Задача. Найти общую явную (т. е. не рекурсивную) формулу для коэффициентов этого многочлена.

Обозначим a(k;m) коэффициент многочлена Pk(x) перед xm.
Должны выполняться равенства:
Pk+1(0) = 0
Pk+1(x) = Pk+1(x-1) + xk.
Первое равенство дает a(k+1;0)=0, второе дает k линейных уравнений на остальные k коэффициентов. Эта система уравнений уже практически имеет верхний треугольный вид, а потому легко решается. Приведу еще несколько следующих многочленов, полученных мною с помощью решения этой системы:
P5(x) = x(x+1)(2x+1)(3x2+3x-1)/30 = x5/5+x4/2+x3/3-x/30
P6(x) = x2(x+1)2(2x2+2x-1)/12 = x6/6+x5/2+5x4/12-x2/12
В этом месте впервые щелкает радость открытия: возникает гипотеза, что
P'k+1(x)=k*Pk(x)+B(k),
где штрих означает производную (определение которой для многочленов легко дать независимо от общего определения: 1. (xn)'=n*xn-1, 2. Производная от суммы слагаемых равна сумме производных. 3. Константа может быть вынесена за знак производной).
B(k) - это некоторая константа, причем:
B(1)=1/2, B(2)=1/6, B(3)=0, B(4)=-1/30, B(5)=0.
Здесь, наверное, впервые используется математическое образование: в последовательности чисел B(k) угадывается последовательность чисел Бернулли, которую легче всего определить рукурсивно:
B(0)=1, B(0)+...+B(k)*C(n,k)+...+n*B(n-1)=0 (для n больших 1),
где С(n,k) - биномиальный коэффициент (количество способов выбрать k предметов из кучи в n различных предметов)
Единственное отличие состоит в коэффициенте B(1), который на 1 отличается от коэффициента Бернулли, равного -1/2.
Имея под рукой эту гипотезу, можно легко искать следующие многочлены, и в общем виде предполжить, что:
a(k;m)=C(k;m)*B(k-m)/k, при m не равном k-1, и a(k,k-1)=1/2.
Эти равенства могут быть доказаны на основе определения чисел Бернулли. Здесь я доказательство опускаю.
Решение допишу потом. Пока сами подумайте :)
Tags: Задачи, Математика
Subscribe

  • Полная колода без джокеров

    Закончился возраст в 51 год - возраст г-на Бонасье. Исполнилось 52 года - возраст Кисы Воробьянинова. Как-то так мои нынешние года представляли…

  • С Новым годом!

    Желаю всем в 2021 году здоровья, благополучия, удачных свершений и приятных неожиданностей! А еще хочется заступиться за ушедший год - в каких только…

  • 51

    Не достигну края Земли - Не такой я упорный бродяга. Но [... ...]. Комментарии не скрываю, не та тема поста. Но по случаю даты крыло нужно написать…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments