Эти два плоских (точнее, сферических) графа, которых я называю "тараканчики" украшали мою диссертацию, защищенную вот уже 13 лет назад под руководством Г.Б. Шабата. Пусть теперь и ЖЖ поукрашают.
Под катом для интересующихся короткое объяснение, чем эти "тараканчики" интересны. Совсем заинтересовавшимся более детальное объяснение могу дать уже в комментариях. :)
Каждому связному сферическому графу (точнее, его изотопическому типу) можно сопоставить рациональную функцию от комплексного переменного (функцию Белого), эскизом которой, то есть прообразом отрезка [0; 1] вещественной оси, и будет данный граф. Две функции Белого имеют изотопные эксизы тогда и только тогда, когда они отличаются дробно-линейным преобразованием аргумента.
Будем рассматривать только функции Белого с алгебраическими коэффициентами и дробно-линейные преобразования с ними же. Это позволяет ввести на множестве графов действие группы Галуа, и, значит, поле определения графа. Так, нарисованные два графа при этом действии образуют орбиту, переходя друг в друга при замене sqrt(5) на -sqrt(5), поэтому их полем определения является Q(sqrt(5)).
Большинство графов обладают функцией Белого, определенной над полем определения графа. Однако есть исключения, и два моих "тараканчика" оказываются примерами с наименьшим числом ребер (6), для которых таких функций нет. И это можно вывести из геометрических свойств - первый из этих графов не имеет оси симметрии. Для "тараканчиков" есть функции Белого определенные только над Q(sqrt(5), sqrt(2)i).
