Филимоненков Виктор (fiviol) wrote,
Филимоненков Виктор
fiviol

Category:

Наглядное доказательство

бесконечности суммы гармонического ряда.
Навеяно этим: http://vadim-i-z.livejournal.com/1935382.html

Утверждается, что если взять достаточно много слагаемых в сумме:
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...
то сумма превзойдет любое наперед заданное число.

Представим себе такой же забор, как на картинке, только бесконечный по длине. Будем считать его строго прямым, то есть там, вдалеке, он не скроется за горизонтом, а выйдет в космос, и мы сможем видеть его сколь угодно далекие части (наше зрение тоже предполагаем идеальным). Щели между прутьями мы будем считать одинаковой ширины С (а сами прутья для простоты, бесконечно тонкими).

Мы находимся около забора, допустим, в метре. Достаточно очевидно, что видимый размер щели обратно пропорционален расстоянию до нее (то есть щель, расположенная на расстоянии, в 100 раз более далеком, видна в 100 раз более узкой). С точностью до несущественных добавок (возникающих из-за нашего метрового удаления от забора, но эти добавки действительно несущественные, чуть более строгими рассуждениями это несложно объяснить), расстояние от нас до щели с номером n равняется n*C, то есть ее видимый размер будет иметь вид C1/n, где С1 - видимый размер первой щели. Будем считать, что С1 = 1.

Ну вот все. Значит, суммарная видимая нами длина забора
1+1/2+1/3+...+1/n+...
Но весь забор виден как прямая бесконечной длины, то есть сумма является бесконечной.

Конечно, такое рассуждение слишком умозрительно, требует более четких формулировок (в частности, что понимать под видимым размером участка забора). Но, кажется, все эти трудности преодолимы.
Tags: Математика, Школа
Subscribe

  • Банальные рифмы

    Поиграем? Ниже перечислены 10 слов. В течение суток с небольшим, скажем, до 19:00 московского времени завтра, 13 июня, комментарии к посту будут…

  • Стокфиш против Стокфиша

    Желая поучиться все-таки хоть иногда делать в шахматах "правильные" ходы, включил искусственный интеллект под названием Стокфиш , который умеет…

  • Куда идет король - большой секрет

    В качестве поиска замены увядшим прежним забавам попробовал играть в шахматы, в которые лет 15 последних уже играл весьма нерегулярно. Сейчас…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic
    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 28 comments

  • Банальные рифмы

    Поиграем? Ниже перечислены 10 слов. В течение суток с небольшим, скажем, до 19:00 московского времени завтра, 13 июня, комментарии к посту будут…

  • Стокфиш против Стокфиша

    Желая поучиться все-таки хоть иногда делать в шахматах "правильные" ходы, включил искусственный интеллект под названием Стокфиш , который умеет…

  • Куда идет король - большой секрет

    В качестве поиска замены увядшим прежним забавам попробовал играть в шахматы, в которые лет 15 последних уже играл весьма нерегулярно. Сейчас…